傅里葉變換的提出讓人們看問題的角度從時域變成了頻域,多了一個維度??焖俑道锶~變換算法的提出普及了傅里葉變換在工程領(lǐng)域的應(yīng)用,在科學計算和數(shù)字信號處理等領(lǐng)域,離散傅里葉變換(DFT)至今依然是非常有效的工具之一。
1. 傅里葉變換
傅里葉變換的物理意義是把時域復雜的信號在頻譜中分解出來,時域無法確定信號有哪些頻率,但是在頻域上看就非常清晰。
比如下圖,信號y含有0.9v@25Hz、0.4V@250Hz、0.6V@412Hz的三種頻率成分,在時域單單看波形的話就比較難區(qū)分出這三種頻率。
y = 0.9*sin(2*pi*25*t) + 0.4*sin(2*pi*250*t) + 0.6*sin(2*pi*412*t);
但是經(jīng)過傅里葉變換以后,在頻域看,就非常清晰了。三種信號頻率以及幅值躍然紙上。
可以得到原始matlab代碼
傅里葉變換在我們工程應(yīng)用中的地位永垂不朽,本文舉例介紹下FFT與PWM的應(yīng)用。
2. PWM信號
PWM是脈沖寬度調(diào)制的意思,占空比D是高電平持續(xù)的時間/周期,占空比越小,PWM信號越窄;反之,PWM信號就越寬。
對于上面幅度為1V,1Khz,占空比為10%的PWM波形,進行傅里葉變換后,可以看到在直流處的電壓幅值為0.0996V,在1Khz處的幅值為0.196V,在2Khz。。。。。以此類推,入下圖所示,PWM信號是由無數(shù)個不同頻率的正弦信號組成的,這是FFT給我們的結(jié)論。
我們增加PWM的占空比到50%,也就是變成方波信號,傅里葉變換如下,直流幅值增加到0.5V,1Khz幅值增加到0.637V,可見相比于10%占空比,低頻信號幅值增加。
我們繼續(xù)增加占空比到90%,低頻直流成分繼續(xù)增加,接近0.9V。
讓我們連續(xù)的看下隨著PWM占空比的增加,直流成分也逐漸增加的過程,紅線波形是輸入的PWM信號,藍色波形是濾波后的信號,以低頻為主。
畫出DC直流幅值隨占空比的變化如下,可以明顯看到占空比越高,直流幅值就越多。
PWM不同占空比,在頻率上會有不同的頻率信息,我們可以把我們的信息調(diào)制到PWM信號的脈寬上,這就是PWM調(diào)制的基本原理。
3. FFT與PWM的應(yīng)用
那么這有什么用呢?利用FFT的原理,在PWM信號后面加一個低通濾波器,我們就可以通過調(diào)制PWM信號的占空比,來產(chǎn)生我們想要的不同幅值的直流信號。
比如使用10Ω電阻、470uF電容構(gòu)成截止頻率為33.88Hz的低通濾波器。
在占空比為10%時,其輸出是100mV的接近直流的信號,與前面分析結(jié)果一致。
占空比增加到50%時,其輸出是500mV的直流,與前面分析結(jié)果一致。
占空比增加到90%時,其輸出是900mV的直流,與前面分析結(jié)果一致。
我們就是這樣,通過調(diào)制PWM的占空比,進而得到我們想要的不同幅值的直流信號,本文只以一階低通為例,如果階數(shù)高一些,濾波效果會更好。這個原理就是FFT,PWM信號具有不同頻率成分,其直流幅值也不同,通過低通濾波器后,抑制掉其中的高頻成分,就剩下不同幅值的直流了。